题目

已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．

（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）证明：∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC．
∴

BF

FH

＝

BE

EG

＝

BA

AC

．
∴

BF+BE

FH+EG

＝

BA

AC

．
又∵BF=EA，
∴

EA+BE

FH+EG

＝

AB

AC

．
∴

AB

FH+EG

＝

AB

AC

．
∴AC=FH+EG．
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC．
证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形．
∴EG=PC．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=AP．
∴AC=PC+AP=EG+HF．
即EG+FH=AC．
（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG-FH=AC．
如图，过点A作AP∥BC交EG于P，
∵EG∥AC，
∴四边形APGC为平行四边形．
∴AC=PG．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=EP．
∴AC=EG-EP=EG-HF．
即EG-FH=AC．