题目

已知函数y(x)满足方程y=e^x+∫y(t)dt ,求y(x)
已知函数y(x)满足方程y=e^x+∫y(t)dt(因未知数出现在积分号下,故称它为积分方程) ,求y(x)
本来以为很简单的
先令 ∫y(t)dt=g(x) ,g`(x)=y(x)
由y=e^x+g(x)
dy=(e^x+g(x))`dx
=(e^x+g`(x))dx
而g`(x)=y(x)
=(e^x+y(x))dx
dy/dx=e^x+y(x)
y`=e^x+y(x)
所以 y(x)=y`- e^x
y=(e^x)*(x+1)
完全不知道我错在哪了呢...

提问时间：2021-04-01

答案

F(X)是可微函数,
那么函数F（X）是连续函数,可以对其求导函数
F(x)=e^x+S 0到x F（t）dt
等式两边同时对X求导数,
那么
F'(x)=e^x+F(x)
令F(X)=y,y-y'=-e^x
这是个一阶线性非齐次方程,那么先解y-y'=0
分离变量：dy/y＝dx
两边积分：lny＝x＋lnC,得线性齐次方程的通解为y＝Ce^x.
设y＝C(x)e^(x)是线性非齐次方程的解,代入原方程
C(x)e^(x)-C'(x)e^x-C(x)e^x=-e^x
C'(x)e^x=e^x
C'(x)=1
C(X)=X+C
所以通解为y=（x+c）e^x
就是F（x）=（x+c）e^x,c是常数