题目

已知函数f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（Ⅰ）因为f（x）=ax³-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax²-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得  a＝

1

3

，经检验符合题意，所以f(x)＝

1

3

x3−4x+4所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘	极小值	单调递增↗

所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(−2)＝

28

3

；
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)＝−

4

3

；
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(−∞，−

4

3

]∪[

28

3

，+∞)