题目

椭圆的准线方程：x=+a^2/c或x=-a^2/c怎样推出来的?

提问时间：2021-04-01

答案

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点为F1（c,0）,F2（-c,0)（c>0)
设A(x,y)为椭圆上一点
则AF1=√[(x-c)²+y²]
设准线为x=f
则A到准线的距离L为│f-x│
设AF1/L=e则
(x-c)²+y²=e²（f-x)²
化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0
令2c=2e²f
则f=c/e²
令该点为右顶点则(c/e²-a)e=a-c
当e=c/a时上式成立
故f=a²/c
则方程为(1-e²)x²+y²=e²f²-c²
与原椭圆方程对比则
a²=(e²f²-c²)/(1-e²),b²=e²f²-c²
a²=(c²/e²-c²)/(1-e²),b²=c²/e²-c²
a²-b²=(c²/e²-c²)e²/(1-e²)=c²