题目

一道有关二次函数的初三数学题
已知关于x的二次函数x2+2(m+1)x+m2-1,求证：
（1）不论m是什么数值,函数图象的顶点都在同一直线L上,并求出直线L的解析式.
（2）任和一条平行于L而与抛物线相交的直线,被各抛物线所截出的线段都相等.

提问时间：2021-04-01

答案

证明：（1）x^2+2(m+1)x+m^2-1
=[x+(m+1)]^2-2m-2
所以顶点坐标为（-m-1,-2m-2）
即顶点都在y=2x直线上
L的解析式为y=2x
（2）设直线方程为y=2x+b,交抛物线A（x1,y1）、B（x2,y2）两点,则有
y1=2x1+b
y2=2x2+b
即y1-y2=2(x1-x2)
又x^2+2(m+1)x+m^2-1=2x+b
x^2+2mx+m^2-b-1=0
x1+x2=-2m
x1x2=m^2-b-1
所以AB^2=(x1-x）^2+(y1-y2)^2=5(x1-x)^2
=5[(x1+x2)^2-4x1x2]
=5(4m^2-4m^2+4b+4)
=20(b+1)
即线段AB的值于m无关