题目

已知抛物线的顶点为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点M(

2

3

，-

2 6

3

)，求抛物线与椭圆的方程．

提问时间：2021-04-01

答案

由题意，设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），则
将M(

2

3

，-

2 6

3

)代入方程可得

8

3

=2p×

2

3

，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x
∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，
∴e=

c

a

=

1

2

∵

4 9

a2

+

8 3

b2

=1，a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1

设出抛物线方程，代入M的坐标，可得抛物线的方程，利用椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，代入M的坐标，求得几何量，即可得到结论．

本题考点：抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．