题目

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且aCosB=bCosA+3/5C
（1）求tanA/tanB的值
（2）求tan(A-B)的最大值
（3）若△ABC的周长为5+3根号5,当tan（A-B）取得最大值时,求△ABC的面积

提问时间：2021-04-01

答案

1、a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA,将此式代入已知式子得,asinAcosB-acosAsinB=2bsinAcosA,因为a/sinA=b/sinB,所以sinAcosB=3sinBcosA,即tanA/tanB=3
2、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=(tanA/tanB-1)/(ctanB+tanA)=2/(ctanB+3tanB)
当ctanB=3tanB时,tan(A-B)取最大值,为3分之根号3
此时,tanB=3分之根号3,tanA=根号3,所以三角形ABC的形状为60度、30度、90度的直角三角形.