题目

如图所示，AD∥BC，∠ABC=90゜，∠DEC=90゜，且E为AB的中点.下列说法正确的是（　　） 
①△EDC≌△BEC；②AD+BC=CD；③AB²=4AD•BC；④分别以AD、AB、BC、CD为直径向外作半圆，其面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则S₁+S₄=S₃+S₂.
A. ①②③④
B. ②③
C. ②④
D. ②

提问时间：2021-04-01

答案

①∵∠DEC=90゜，
∴DC＞EC，即DC≠EC，
∴△EDC≌△BEC错误；
②如图，取CD中点F，连接EF，
又∵E为AB的中点，
∴EF为梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC=2EF，
∵EF为△CED斜边的中线，
∴CD=2EF，
∴AD+BC=CD正确；
③∵AD∥BC，∠ABC=90゜，
∴∠DAE=180°-∠ABC=90°．
∵∠DEC=90゜，
∴∠ADE=∠BEC=90°-∠AED．
在△AED与△BCE中，

∠DAE＝∠EBC＝90° ∠ADE＝∠BEC

，
∴△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∵AE=BE=

1

2

AB，
∴

1

4

AB²=AD•BC，
∴AB²=4AD•BC正确；
④∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴AD²+AE²=DE²，BE²+BC²=CE²，
∵∠DEC=90゜，
∴DE²+CE²=CD²，
∴AD²+AE²+BE²+BC²=CD²，
∵AE²=BE²=

1

4

AB²，
∴AD²+

1

2

AB²+BC²=CD²，
∴

1

8

πAD²+

1

2

×

1

8

πAB²+

1

8

πBC²=

1

8

πCD²，
∴S₁+

1

2

S₂+S₃=S₄，
∴S₁+S₄=S₃+S₂错误．
故选B．

①由∠DEC=90゜，可知DC＞EC，由此判断△EDC≌△BEC错误；
②作梯形ABCD的中位线EF，则EF为△CED斜边中线，根据梯形中位线的性质和直角三角形的性质，可判断AD+BC=CD正确；
③根据两角对应相等的两三角形相似证明△AED∽△BCE，由相似三角形对应边成比例即可判断AB²=4AD•BC正确；
④根据勾股定理及圆的面积公式即可判断S₁+S₄=S₃+S₂错误．

本题考点：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了直角三角形、梯形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合思想是解题的关键．