题目

学军18选6
x1+x2+x3+.xn ≤ 1/2 各项非负
证：(1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xn) ≥ 1/2

提问时间：2021-04-01

答案

∵x1+x2+x3+.+.xn ≤ 1/2 各项非负
∴x1,x2,x3,.,xn∈[0,1/2]
当n=1时,∵x1≤1/2,∴ 1-x1≥1/2
n≥2时,下面用数学归纳法证明：
(1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xn) >1-(x1+x2+.+xn) (#)
证明：
1）当n=2时 (1-x1)(1-x2)=1-x1-x2+x1x2>1-x1-x2=1-(x1+x2) (#)成立
2）假设当n=k(≥2)时,（#）成立
即 (1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xk) >1-(x1+x2+x3+.+xk)成立
那么当n=k+1时
(1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xk) [1-x(k+1)]
>[1-(x1+x2+x3+.+xk)][1-x(k+1)]
=1-(x1+x2+x3+.+xk)-x(k+1)+(x1+x2+x3+.+xk)x(k+1)
>1-[x1+x2+x3+.+xk+x(k+1)]
即n=k+1时,（#）式成立
∴由1）2）得 n≥2时（#）总成立
证毕
在（#）中,
(1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xk) >1-(x1+x2+x3+.+xk)
∵x1+x2+x3+.+xn≤1/2
∴1-(x1+x2+x3+.+xn)≥1/2
∴ (1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xn) >1/2
因为n=1时,取等号
∴(1-x1)(1-x2)(1-x3).(1-xn) ≥ 1/2