题目

△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD,BE交于点P.当△ABC为等边三角形时,证明EP＝DP
当△ABC不是等边三角形,但∠ACB=60°证明EP＝DP

提问时间：2021-04-01

答案

证明：（1）∵△ABC为等边三角形,AD平分∠CAB,∴PD⊥BC,
同理,PE⊥AC,
作PH⊥AB于H,
∵AD平分∠CAB,PE⊥AC,∴PE=PH
同理PD=PH
∴PD=PE
（2）EP=DP依然成立．
证明：不妨设∠CAB＜∠CBA
作PH⊥AC于H,PM⊥CB于M,PQ⊥AB于Q,
则点H在线段CE上,点M在线段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PQ=PM,
∵∠ACB ∠CAB ∠ABC=180°,∠ACB=60°,
∴∠CAB ∠ABC=120°,
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC,
∴∠PAB ∠PBA=60°,
∵∠CEP=∠CAP ∠PAB ∠PBA=∠CAP 60°,
∠ADB=∠CAP ∠ACD=∠CAP 60°,
∴∠CEP=∠ADB,
在△PHE和△PMD中,∠HEP=∠MDP,∠EHP=∠DMP=90°,PH=PM,
∴△PHE≌△PMD,
∴PE=PD