题目
三道数学题(积分题和最值问题)
1.在曲面z = √(x^2+ y^2 ) 上求一点,使得该点到点
(1,√2 ,3√3)的距离最短.
2.求积分∫▒(ye^(1/y) + e^(1/y) )dy.
3.求微分方程y'' – y = x^3 的通解.(y''为y的二阶导数)
1.在曲面z = √(x^2+ y^2 ) 上求一点,使得该点到点
(1,√2 ,3√3)的距离最短.
2.求积分∫▒(ye^(1/y) + e^(1/y) )dy.
3.求微分方程y'' – y = x^3 的通解.(y''为y的二阶导数)
提问时间:2021-04-01
答案
设该点(x,y,z)到点(1,√2 ,3√3)的距离为d
则d^2=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2
又z = √(x^2+ y^2 )
属于条件极值,使用拉格朗日二乘法.构造函数:
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2+λ(√(x^2+ y^2)-z)
则令
Fx'(x,y,z)=2(x-1)+λx/√(x^2+ y^2)=0
Fy'(x,y,z)=2(y-√2)+λy/√(x^2+ y^2)=0
Fz'(x,y,z)=2(z-3√3)-λ=0
而z = √(x^2+ y^2 )
解得:x=...,y=...,z=...
2.看不清积分区间,我只是求出不定积分,
题目是不是有问题?
∫(ye^(1/y) -e^(1/y) )dy
分部积分=1/2y^2e^(1/y)
3.对应的齐次方程为:y''–y,特征方程为:
r^2-1=0,解得r=-1,1
所以通解为:y=c1e^x+c2e^(-x)
比较右边形式,可设y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4
则y''-y=6a1x+2a2-(a1x^3+a2x^2+a3x+a4)=x^3
则-a1x^3+a2x^2+(-a3+6a1)x+2a2-a4=x^3
则a1=-1,a2=0,a3=-6,a4=0
所以y=-6x-x^3
所以通解为:
y=c1e^x+c2e^(-x)-6x-x^3
则d^2=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2
又z = √(x^2+ y^2 )
属于条件极值,使用拉格朗日二乘法.构造函数:
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2+λ(√(x^2+ y^2)-z)
则令
Fx'(x,y,z)=2(x-1)+λx/√(x^2+ y^2)=0
Fy'(x,y,z)=2(y-√2)+λy/√(x^2+ y^2)=0
Fz'(x,y,z)=2(z-3√3)-λ=0
而z = √(x^2+ y^2 )
解得:x=...,y=...,z=...
2.看不清积分区间,我只是求出不定积分,
题目是不是有问题?
∫(ye^(1/y) -e^(1/y) )dy
分部积分=1/2y^2e^(1/y)
3.对应的齐次方程为:y''–y,特征方程为:
r^2-1=0,解得r=-1,1
所以通解为:y=c1e^x+c2e^(-x)
比较右边形式,可设y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4
则y''-y=6a1x+2a2-(a1x^3+a2x^2+a3x+a4)=x^3
则-a1x^3+a2x^2+(-a3+6a1)x+2a2-a4=x^3
则a1=-1,a2=0,a3=-6,a4=0
所以y=-6x-x^3
所以通解为:
y=c1e^x+c2e^(-x)-6x-x^3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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