题目

设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x1=-

1

3

，x2=1．
又∵当x∈（-∞，-

1

3

）时，f'（x）＞0；
当x∈（-

1

3

，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴x1=-

1

3

与x₂=（1分）别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）_极大值=f(-

1

3

)=a+

5

27

；f（x）_极小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+

5

27

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）

（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．