题目

已知α,β是锐角,α+β≠π/2,且满足3sinβ=sin(2α+β）
（1）求证：tan(α+β）=5tanα
（2）求证：tanβ≤√2/4,并求等号成立时tanα与tanβ的值

提问时间：2021-04-01

答案

tan(α+β）=5tanα?
这个好象打错了吧!
（1）证明：∵3sinβ=sin（2α+β）,∴3sin(α+β-α)=sin（α+β+α）,
∴3[sin(α+β)cosα－cos (α+β) sinα]
= sin(α+β)cosα+ cos (α+β) sinα
∴2 sin(α+β)cosα
=4 cos (α+β) sinα
∴tan(α+β)=2tanα
α与β是锐角,α+β不等于90°
tan(α+β)=2tanα
(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=2tanα
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
tanβ≤√2/4
tanα/(1+2tan^2α)≤√2/4
2√2*[tanα-(√2/2)]^2≥0
设tanα=√2/2,则sinα=1/√3,cos=√(2/3)
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)=(√2/2)/[1+2(√2/2)^2]=√2/4
3sinβ=sin(2α+β)
3sinβ=sin(2α)*cosβ+cos(2α)*sinβ
3tanβ=2sinα*cosα+(1-2sin^α)*tanβ
tanβ=sinα*cosα/(1+sin^2α)=(1/√3)*√(2/3)/[1+(1/√3)^2]=√2/4
故tanα=√2/2,tanβ=√2/4
不懂的欢迎追问,