题目

设函数f（x）=2cos²x+2

3

sinx•cosx+m（m，x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为[

1

2

，

7

2

]，并求此时f（x）在R上的对称中心．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）∵f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴m≤f（x）≤m+3，
又

1

2

≤f（x）≤

7

2

，
∴m=

1

2

，
令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），解得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）在R上的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，

3

2

）（k∈Z）．

（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，从而可求其最小正周期；
（2）利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤

π

2

时，m≤f（x）≤m+3，利用使函数f（x）的值域为[

1

2

，

7

2

]可求得m的值，从而可求f（x）在R上的对称中心．

本题考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．

考点点评：本题考查：两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，考查正弦函数的单调性、周期性与对称性，属于中档题．