题目
若2x㏑x≤2mx²-1在[1,e]上恒成立,求m的取值范围
提问时间：2021-04-01
答案
2x㏑x≤2mx²-1在[1,e]上恒成立
即2mx²≥1+2xlnx
2m≥1/x²+(2lnx)/x在[1,e]上恒成立
设f(x)=1/x²+(2lnx)/x
需2m≥f(x)max
求导
f'(x)=-2/x³+(2-2lnx)/x²
=-2[1-x+xlnx]/x³
设g(x)=1-x+xlnx
g'(x)=-1+lnx+1=lnx
∵1≤x≤≤e ∴0≤lnx≤1
即g'(x)≥0
∴g(x)是增函数
∴g(x)≥g(1)=0
∴f'(x)≤0恒成立
∴f(x)是减函数
∴f(x)max=f(1)=1
∴2m≥f(x)max=1
∴m≥1/2
即2mx²≥1+2xlnx
2m≥1/x²+(2lnx)/x在[1,e]上恒成立
设f(x)=1/x²+(2lnx)/x
需2m≥f(x)max
求导
f'(x)=-2/x³+(2-2lnx)/x²
=-2[1-x+xlnx]/x³
设g(x)=1-x+xlnx
g'(x)=-1+lnx+1=lnx
∵1≤x≤≤e ∴0≤lnx≤1
即g'(x)≥0
∴g(x)是增函数
∴g(x)≥g(1)=0
∴f'(x)≤0恒成立
∴f(x)是减函数
∴f(x)max=f(1)=1
∴2m≥f(x)max=1
∴m≥1/2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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