题目

在椭圆 x/9 + y/4 = 1上动点P（x,y）与定点M（m,0）(0

提问时间：2021-01-02

答案

设P（x0,y0）到定点M（m,0）的距离最小. 0＜m＜3,最小值在P（x0,y0）取得,MP⊥椭圆过P的切线. 椭圆过P的切线方程：xx0／9+yy0/4＝1.斜率＝-4x0/9y0 MP斜率＝y0/（x0-m） ∴y0/（x0-m）×[-4x0/9y0]＝-1,y0≠0时. 解得x0＝9m/5.注意x0≤3,m≤5/3.此时y0＝√（4-36m/25）. |AP|＝2√（25-5m）/5, 当5/3≤m＜3时,最小距离是3-m.（只有P（3,0）,MP⊥切线.此时y0=0） 当5/3＞m＞0时, p(x,y)和定点M(m,0)(m>0)的距离的最小值＝2√（25-5m）/5. 现在距离的最小值=1 当5/3≤m＜3时.最小距离是3-m=1.m=2.m∈[5/3,3）.成立. 当5/3＞m＞0时,最小距离是2√（25-5m）/5=1.m＝√15/2.m不在（0,5/3） 不成立. 总之,只有一个m＝2,(0