题目

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,P是AB上一点,连接CP,设∠BCP=m∠ACP,当AP=3/2时,
是否存在正整数m,使CP垂直于AB?若存在,求出m的值；如果不存在,说明理由

提问时间：2021-04-01

答案

若存在合条件的正整数m,设BC=x,由勾股定理有AC=√36-x^2,又AB=6,AP=3/2,则BP=9/2
在直角三角形BCP中,sin∠BCP=BP/BC=9/2x
在直角三角形ACP中,sin∠ACP=AP/AC=3/2√36-x^2
又∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°,所以∠BCP=∠ACB=90°-∠ACP
所以sin∠BCP=sin(90°-∠ACP)=cos∠ACP
所以cos∠ACP=9/2x
又(sin∠ACP)^2+(cos∠ACP)^2=1
所以(3/2√36-x^2)^2+(9/2x)^2=1
化简得x^4-54x^2-(27)^2=0
所以x^2=27
所以x=3√3
则sin∠BCP=9/2x=9/6√3=√3/2 sin∠ACP=3/2√36-x^2=3/6=1/2
所以∠BCP=60°,∠ACP=30°,
所以设∠BCP=2∠ACP,所以m=2
故当AP=3/2时,存在正整数m=2,使PC垂直于AB