题目

O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA＋CD×CA＝BC²,求证：A、D、O、E四点共圆.

提问时间：2021-03-31

答案

作∠CDF = ∠ABC 交CB于F,连接EF
△CDF 相似于△CBA,
所以 CD×CA = CF×CB = CF×(CF+FB)
即有 BE×BA = BC^2-CD×CA =(CF+FB)^2 -CF×(CF+FB)=FB×(FB+CF)= BF×BC
又 ∠EBF=∠CAB ,所以△BEF相似于△BCA
综上,△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF
所以 CF/DF=EF/BF,∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE.
因此 △CFE 相似于 △DFB
于是,∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC
所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°
对角互补的四边形,四个顶点在同一圆上 ,所以A,D,O,E四点共圆