题目

设a.b都是有界集,证明a∪b也是有界集

提问时间：2021-03-31

答案

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素.
在一个度量空间（X,ρ）中的集合A,如果A的直径D(A)是有限的：
D(A)=max{ρ(x,y)}≤M ,其中任意x,y∈A；
就称A为有界集,即A是有界的.换句话说：一个集合是有界的,当且仅当它被包含在一个半径有 限的开球内.
反证法
假设a∪b（设为C）为无界集
又因为a.b都是有界集
存在M,N>0
使得M>Max{|ai|},N>Max{|bi|},ai,bi为a,b中的元素
令P=Max{M,N}
对任取x属于C,有P>{|xi|}
与C无界矛盾
所以假设不成立
所以a∪b也是有界集