题目

3、椭圆x2/4+y2/b2=1（b>0）的焦点在x轴上,其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在椭圆的坐准线上.
1）求椭圆的方程
2）过椭圆左焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,交椭圆左准线于点C.设O为坐标原点,且（向量）OA+（向量）OC=2（向量）OB,求三角形OAB的面积.

提问时间：2021-03-31

答案

(1)右顶点为（2,0）,
过（2,0）且与直线x-y+4=0垂直的直线方程为
y=-x-2,与x-y+4=0联立,得（-1,3）,则右顶点关于直线x-y+4=0的对称点为（-4,6）
而c^2=4-b^2,左准线为-4/(√（4-b^2）)
-4/(√（4-b^2）)=-4,b^2=3
∴椭圆方程为x2/4+y2/3=1
（2）椭圆左焦点为（-1,0）,因直线与准线有交点,故直线不可能垂直与x轴
于是设直线L方程为y=kx+k,
与椭圆方程联立得
（4k^2+3）x^2+8k^2x+4k^2-12=0
设A（x1,y1）B(x2,y2)
则x1+x2=-8k^2/(4k^2+3)①,x1x2=4k^2-12/(4k^2+3)
由（向量）OA+（向量）OC=2（向量）OB
得x1-4=2x2,代入①中,得x2=-2,x1=0
则B为椭圆左顶点（-2,0）,A（0,1）
三角形OAB的面积S=1/2*2*1=1