题目
如图,AD是△ABC的中线,F是AC上一点.且CF=2AF,连接BF交AD于点E.求证:BE=3EF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ae51f3deb48f8c5467a96d9e39292df5e0fe7f0d.jpg)
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提问时间:2021-03-31
答案
证明:过点D作DG∥BF,交AC于G,作DH∥AC,交BF于点H,
∵DH∥AC,DG∥BF,
∴四边形HDGF是平行四边形,
∴HD=FG,DG=HF,
∵AD是△ABC的中线,
∴DB=DC=
BC,DH=
FC,
∵DH∥FC,D为BC中点,
∴BH=HF,
∵DG∥BF,
∴
=
=
,
∴G为BF中点,
∴DG是△BFC的中位线,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ca1349540923dd5454060fd9d209b3de9c82480d.jpg)
∴FC=2GC=2FG=2HD,
∵CF=2AF,
∴HD=AF,
在△EHD和△EFA中
,
∴△EHD≌△EFA(AAS),
∴HE=EF,
∴BE=3EF.
∵DH∥AC,DG∥BF,
∴四边形HDGF是平行四边形,
∴HD=FG,DG=HF,
∵AD是△ABC的中线,
∴DB=DC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵DH∥FC,D为BC中点,
∴BH=HF,
∵DG∥BF,
∴
FG |
FC |
BD |
BC |
1 |
2 |
∴G为BF中点,
∴DG是△BFC的中位线,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ca1349540923dd5454060fd9d209b3de9c82480d.jpg)
∴FC=2GC=2FG=2HD,
∵CF=2AF,
∴HD=AF,
在△EHD和△EFA中
|
∴△EHD≌△EFA(AAS),
∴HE=EF,
∴BE=3EF.
首先过点D作DG∥BF,交AC于G,作DH∥AC,交BF于点H,再根据平行线分线段成比例定理可得
=
=
,然后证明△EHD≌△EFA可得HE=EF,进而得到BE=3EF.
FG |
FC |
BD |
BC |
1 |
2 |
平行线分线段成比例.
此题主要考查了平行线分线段成比例定理,以及全等三角形的判定与性质,关键是证明△EHD≌△EFA.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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