题目

高数中一般分母次数比较高时选用倒代换进行变量代换进行不定积分,但是有道题做的结果是这样的·····
倒代换
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0?
求解答啊~~~纠结~~~
不好意思，上述式子多了个负号
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt

提问时间：2021-03-31

答案

这是不定积分,定积分积分值与积分变量无关,但不定积分与积分变量有关的,所以结果不是0
简单做法,分子分母同除以x^2,将分子凑到微分号后面去
∫(1+x^-2)/(x^2+x^-2)dx=∫[1/(x-1/x)^2+2]d(x-1/x)=[arctan(x-1/x)/√2]/√2+C
要严格些的话,将分母化为（x^2+1)^2-2x^2因式分解,利用有理分式分解