题目

设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-31

答案

（1）由f（x）=-x+lnx，得f′(x)＝−1+1x，令f'（x）=1，得x＝12∴所求距离的最小值即为P(12，f(12))到直线x-y+3=0的距离d＝|12−(−12−ln2)+3|2＝12(4+ln2)2（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），...

（1）平移直线x-y+3=0当它与函数y=f（x）图象相切时，切点即为函数y=f（x）图象上到直线x-y+3=0距离最小的点，此时切线的斜率等于函数y=f（x）在切点处的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立，我们可以构造函数F（x）=f（x）-g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）≤0恒成立⇔F（x）的最大值≤0进行求解．

本题考点：导数的运算；函数恒成立问题；点到直线的距离公式．

考点点评：（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零；求y′=0的根，求出极值点；最后写出解答．（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′（x）=0，且在两侧f′（x）的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点．