题目

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,三角形OAB为等边三角形,点A的坐标是（4倍根3,0）,点B在第一象限,AC是角OAB的平分线,并且与y轴交于点E,点M为直线AC上一个动点,把三角形AOM饶点A顺时针旋转,使边AO与边AB重合,得到三角形ABD
（1）求直线OB的解析式
（2）点M与点E重合时,求此时点D的坐标
（3）是否存在点M,使三角形OMD的面积等于3倍根3,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由

提问时间：2021-03-31

答案

（1）OB的解析式为Y=√3
（2）∵△AOB是等边三角形
∴∠OAB=60°
∴∠OAC=30°
∴OE:OA=1:√3
∵OA=4√3
∴OE=4
∴OC=8
∴E点坐标为（0,4）
∵三角形AOM饶点A顺时针旋转
∴∠BAD=∠OAC=30°
∴∠OAD=90°
∴D点坐标为（4√3,8）
（3）连接OM ,MD,并过M向X轴做垂线,垂足为N.
∵AD=AM ∠MAD=90°
∴△MAD为等边三角形.
∵∠MAO=30°
∴MN=1/2MA
设AM=x
则S△AMO=4√3*0.5x/2
S△MAD=√3/2*x^2/2
S△AOD=4√3*x/2
S△MOD=S△AMOS+△MADS-△AOD=3√3
可列方程
4√3*0.5x/2+√3/2*x^2/2-4√3*x/2=3√3
解得x=-2 ,6
-2舍掉 取6
∴MC=3 OC=√3
∴M点坐标为（√3,3）