题目

一个高一证明题
设x1与x2分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根,且x1≠x2≠0,求证：方程（a∕2）x²+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间.

提问时间：2021-03-31

答案

证明：∵ax^2+bx+c=0,-ax^2+bx+c=0
∴x=0为两方程的公共根；
∴c=0
∵x1与x2分别是方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0个一个根,且x1≠x2≠0
∴x1=-b/a,x2=b/a
又(a/2)x^2+bx+c=0
∴x(ax+2b)=0
x=0,x=-2b/a
∴x=0在x1和x2之间；
又-2b/a在-b/a和b/a之外
∴方程(a/2)x^2+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间.