题目

已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC．

（Ⅰ）求证：AD⊥面SBC；
（Ⅱ）若BC=1，∠ABC=60°，SA=AB，求AB与平面SBC所成角的正弦值．

提问时间：2021-03-31

答案

（I）∵SA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥SA
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC内的相交直线，
∴BC⊥面SAC
又∵AD⊂面SAC，∴BC⊥AD，
又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内的相交直线，
∴AD⊥面SBC；
（II）连结BD
∵AD⊥面SBC，∴BD是AB在平面ADC内的射影，可得∠ABD就是AB与平面SBC所成角
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AB=

BC

cos60°

=2，
又∵Rt△ASB中，SA=AB，∴SB=

2

AB=2

2

因此，Rt△SBC中，SC=

SB2+BC2

=3，得中线BD=

1

2

SC=

3

2

Rt△ABD中，cos∠ABD=

BD

AB

=

3

4

，得sin∠ABD=

1-cos2∠ABD

=

7

4

即AB与平面SBC所成角的正弦值是

7

4

．

（I）由SA⊥面ABC，得BC⊥SA，结合AC⊥BC，利用线面垂直判定定理，证出BC⊥面SAC，从而得到BC⊥AD，再结合SC⊥AD，可得AD⊥面SBC；
（II）连结BD，由AD⊥面SBC，得∠ABD就是AB与平面SBC所成角．再由题中数据算出Rt△ABD中AB=2且BD=

3

2

，利用三角函数的定义得到cos∠ABD=

BD

AB

=

3

4

，得sin∠ABD=

7

4

，即得AB与平面SBC所成角的正弦值．

本题考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题在特殊三棱锥中证明线面垂直，并求线面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．