题目

双曲线C的中心是原点O 它的一个焦点为F（2,0),离心率为2求过(1)作直线L与双曲线交与不同点 P Q若以PQ 为直
双曲线C的中心是原点O 它的一个焦点为F（2,0),离心率为2 求过(1.0)作直线L与双曲线交与不同点 P Q若以PQ 为直径的圆过原点 求直线L的方程.
最后是无解
我要过程详细过程尤其是算x1+x2+y1y2=0的地方
我计算能力不好需要看下运算步骤
马上来的我给100分

提问时间：2021-03-30

答案

依题意设双曲线x²/a² -y²/b²=1
焦点为F（2,0),
即c=2
e=2=c/a解得a=1
∴b=√(c²-a²)=√3
双曲线为x² -y²/3=1
设L：y=k(x-1)
以PQ 为直径的圆过原点,设P(X1,Y1) Q(X2,Y2)
那么
向量OP×向量OQ=0
即
X1X2+Y1Y2=0
即
x1x2+k(x1 -1)×k(x2-1)=x1x2+k²(x1x2-x1-x2+1)=(1+k²)x1x2-k²(x1+x2)+k²=0
联立
y=k(x-1)
x² -y²/3=1
即
x²-1/3×k²(x-1)²=1
即
（1+k²/3）x²+2k²/3-4/3=0
x1+x2= -(1+k²/3)/(2k²/3)= -(3+k²)/(2k²)= -3/(2k²)-1/2
x1x2=(1+k²/3)/(-4/3)= -(3+k²)/4
带入(1+k²)x1x2-k²(x1+x2)+k²=0中
(1+k²)(-(3+k²)/4) -k²(-3/(2k²)-1/2)+k²=0
即（1+k²）(3+k²)-k²(6/(k²)+2)-4k²=0 (等式左右同×-4)
即（1+k²）(3+k²)-6-6k²=0
为了好算,令t=k² (t＞0)
那么就是（1+t）(3+t)-6t-6=0
即 3+4t+t²-6t-6=0
t²-2t-3=0
(t-3)(t+1)=0
t= -1(舍去,t＞0)
t= 3
∴k²=t=3
解得k=±√3
直线y=√3(x-1)
或y= -√3（x-1）