题目

△BCD和△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2倍根号3.
1.求A到平面MBC的距离
2.求平面ACM与BCD所成二面角的正弦值.

提问时间：2021-03-30

答案

（1）连接,AC、AD、AM,取CD的中点E,连接BE、ME,BC=MC=MD=2,DE=CE=1,∵△BCD和△MCD都是正三角形,∴BE⊥CD,ME⊥CD,CD⊥面ABEM,BE⊥ME,BE=ME=√3,MB=√6,∵AB⊥平面BCD,∴AB∥ME,∵AB=2√3,∴AM=√6,在△ABM中,AB²=AM²+MB²=12,则△ABM为直角△,S△ABM=3,三棱锥C—ABM的体积=3*1/3=1,在等腰△MBC中,边MB上的高=√(4-6/4)=√10/2,S△MBC的面积=√6*√10/4=√15/2,三棱锥A—MBC的体积=三棱锥C—ABM的体积=1,则A到平面MBC的距离=1*3/(√15/2)=2√15/5；
（2）过M点作平面∥面BCD,分别交AB、AC、AD于F、G、H点,∵MF⊥AB,AB⊥平面BCD,∴F为AB中点,AF=√3,则G、H为AC、AD的中点,FG=FH=1,AM=√(3+3)=√6,在△ACM中由余弦定理得：CM²=AC²+AM²-2ACAMcos∠MAC,4=16+6-8√6cos∠MAC,在△AGM中由余弦定理得：GM²=AG²+AM²-2AGAMcos∠MAC,GM²=4+6-4√6cos∠MAC,GM=1,同理HM=1,则四棱锥A—MGFH的底为边长为1的菱形,高为AF=√3,平面ACM与平面BCD所成二面角即面AGM与面MGFH所成夹角,面AGM与面MGFH交线GM,在△AGM中由余弦定理得：AG²=AM²+GM²-2AMGMcos∠AMG,4=6+1-2√6cos∠AMG,cos∠AMG=√6/4,sin∠AMG=√10/4,面AGM在交线GM上的高=√6*√10/4=√15/2,则平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值=√3/(√15/2)=2√5/5.
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