题目
如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:PE+PF=AB.
提问时间:2021-03-30
答案
证明:过P作PG⊥AB于G,交BD于O,
∵PF⊥AC,∠A=90°,
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°,
∴四边形AGPF是矩形,
∴AG=PF,PG∥AC,
∵BD=DC,
∴∠C=∠GPB=∠DBP,
∴OB=OP,
∵PG⊥AB,PE⊥BD,
∴∠BGO=∠PEO=90°,
在△BGO和△PEO中
∴△BGO≌△PEO,
∴PE=BG,
∵AB=BG+AG,
∴PE+PF=AB.
∵PF⊥AC,∠A=90°,
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°,
∴四边形AGPF是矩形,
∴AG=PF,PG∥AC,
∵BD=DC,
∴∠C=∠GPB=∠DBP,
∴OB=OP,
∵PG⊥AB,PE⊥BD,
∴∠BGO=∠PEO=90°,
在△BGO和△PEO中
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∴△BGO≌△PEO,
∴PE=BG,
∵AB=BG+AG,
∴PE+PF=AB.
过P作PG⊥AB于G,交BD于O,证出矩形AGPF,推出AG=PF,PG∥AC,根据已知求出∠OBP=∠OPB,推出OB=OP,证△BOG≌△POE,推出BG=PE即可.
全等三角形的判定与性质;垂线;等腰三角形的性质;勾股定理;矩形的判定与性质.
本题考查了矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,垂线,等腰三角形的性质等知识点的运用,关键是正确作辅助线,并进一步求出AG=PF,BG=PE,题目综合性比较强.
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