题目

在第一象限部分的椭圆x^2+（y^2）/4=1上求一点,使该处的椭圆切线和两坐标轴所围三角形面积最小
高数题,

提问时间：2021-03-30

答案

(x0,y0)处的切线方程为xx0+yy0/4=1.
令:x=0,得:切线在y 轴上的截距:Y=4/y0, 令y=0,得切线在x轴上的截距: X=1/x0.
切线与坐标轴围成的面积S=|XY|/2=2|1/(x0*y0|
而|x0y0|=根号[(x0)^2 *(y0)^2]=2根号[(x0)^2 *((y0)^2)/4]=根号2.
即S>=2根号2.
等号当且仅当(x0)^2={(y0)^2}/4, 此时S取得最小值:2根号2.
将条件(x0)^2={(y0)^2}/4:代入椭圆方程得:2(x0)^2=1,x0=(根号2)/2 或x0=-(根号2)/2.
求得y0=根号2, 或y0=-根号2.
组合起来有四个点满足条件:( (根号2)/2, 根号2), :( -(根号2)/2, 根号2),
:(- (根号2)/2, -根号2) :( (根号2)/2, -根号2)