题目

已知函数f(x)=logm^x(m为常数,0

提问时间：2021-03-30

答案

(1)因为{f（an）}是首项为2,公差为2的等差数列
所以f(an)=2+2(n-1)
即Logman=2n,所以an=m^(2n)
又因为bn=an*f(an)=2n*m^(2n)
当m=√2/2时,bn=n/[2^(n-1)]
Sn=b1+b2+.+bn
=1/(2^0)+2/(2^1)+3/(2^2)+.+n/[2^(n-1)] (1)
两边同乘以1/2,可得
1/2Sn=1/(2^1)+2/(2^2)+3/(2^3)+.+(n-1)/[2^(n-1)]+n/(2^n) (2)
用(1)式减(2)式,可得
1/2Sn=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+.+1/[2^(n-1)] - n/(2^n)
=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/(2^n)
两边同乘以1/2,可得bn的前n项和
Sn=4-1/[2^(n-2)]-n/[2^(n-1)]
(2)因为cn=an*lgan,所以cn=m^(2n)*lgm^(2n)
因为{cn}中每一项恒小于它后面的项 ,即
c(n+1)>cn恒成立
即 m^[2(n+1)]*lgm^[2(n+1)]>m^(2n)*lgm^(2n)
因为 m^(2n)>0,所以两边可以同时约掉它而不等号不变,剩m^2*(n+1)lg(m^2) >nlg(m^2)
又因为 m为常数,0