题目

三角函数的综合题
已知函数f(X)=cos^2x,g(x)=1+1/2sin2x
1）若点A(α,y)（α∈[0,π/4]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点,试求实数α的值
2）设x=x.是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g（2x.）的值
3）求函数h（x）=f（x）+g（x）,x∈[0,π/4]的值域

提问时间：2021-03-30

答案

1）联立y=cos²α,y=1+1/2sin2α,消去y有：
cos²α=1+1/2sin2α
（1+cos2α）/2=1+1/2sin2α
1+cos2α=2+sin2α
cos2α-sin2α=1
cos2αcosπ/4-sin2αsinπ/4=√2/2
cos（2α+π/4）=√2/2
又α∈[0,π/4],2α+π/4∈[π/4,3π/4]
∴2α+π/4=π/4
α=0
2）
f（x）=cos²x=（1+cos2x）/2
y=cosx的对称轴为：y=kπ,k∈Z,
∴f（x）的对称轴为：2x=kπ,x=kπ/2,k∈Z
g（2x）=g（kπ）=1+1/2sin2kπ=1
3)
h(x)=f(x)+g(x)=cos²x+1/2sin2x=（1+cos2x）/2 +1/2sin2x
=（cos2x+sin2x）/2 +1/2
=（sinπ/4cos2x+cosπ/4sin2x）√2/2+1/2
=（√2/2）sin（2x+π/4）+1/2
又x∈[0,π/4],2x+π/4∈[0,3π/4],
∴sin（2x+π/4）∈[√2/2,1]
∴ √2/2 *√2/2+ 1/2≤h（x）≤√2/2*1 +1/2
h（x）的值域为：[1,（√2+1）/2]