题目

为了方便 向量我用中括号括起来
已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB]
(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M
（1）证明[FM]·[AB]为定值
（2）设△ABM的面积为S,写出S=f（λ）的表达式,并求出S的最小值

提问时间：2021-03-30

答案

（1）易知,焦点F(0,1).可设A(2a,a^2),B(2b,b^2).(a,b∈R,a≠b.).由题设知,三点A,F,B共线,由三点共线条件得：ab=-1.对x^2=4y求导得：y'=x/2.故可求得过点A,B的两切线方程为：y=ax-a^2,y=bx-b^2.解得：x=a+b,y=ab=-1.故由题设知点M(a+b,-1).故有FM=(a+b,-2),AB=(2b-2a,b^2-a^2).FM*AB=(a+b)*(2b-2a)-2(b^2-a^2)=0.即有FM*AB=0(定值）.（2）由FM*AB=0知,FM⊥AB.故S=|AB|*|FM|/2.再由AF=tFB及ab=-1可得：a^2=t.b^2=1/t.故可得：|AB|^2=(2b-2a)^2+(b^2-a^2)^2=[t+(1/t)+2]^2,|MF|^2=(a+b)^2+9=t+(1/t)+7.故得：S=1/2*[t+(1/t)+2]*√[t+(1/t)+7].易知,当t=1时,Smin=6.