题目
已知:如图,△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N,则下列五个结论:①AD=BE;②∠BMC=∠ANC;③∠APM=60°;④AN=BM;⑤△CMN是等边三角形.其中,正确的有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
提问时间:2021-03-30
答案
∵△ABC和△DEC都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,故选项①正确;
∵∠ACB=∠ACE=60°,由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,
∴∠BMC=∠ANC,故选项②正确;
由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,
∵∠ACB是△ACD的外角,
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°,
又∠APM是△PBD的外角,
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°,故选项③正确;
在△ACN和△BCM中,
,
∴△ACN≌△BCM,
∴AN=BM,故选项④正确;
∴CM=CN,
∴△CMN为等腰三角形,∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形,故选项⑤正确;
故选:D.
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,故选项①正确;
∵∠ACB=∠ACE=60°,由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,
∴∠BMC=∠ANC,故选项②正确;
由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,
∵∠ACB是△ACD的外角,
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°,
又∠APM是△PBD的外角,
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°,故选项③正确;
在△ACN和△BCM中,
|
∴△ACN≌△BCM,
∴AN=BM,故选项④正确;
∴CM=CN,
∴△CMN为等腰三角形,∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形,故选项⑤正确;
故选:D.
根据先证明△BCE≌△ACD,得出AD=BE,根据已知给出的条件即可得出答案;
等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质,难度一般,关键是找出条件证明两个三角形全等.
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