题目

在齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换时,为什么一定要保证左上角r阶子式不为0?
我试过假设有一个三阶矩阵，其中两行元素相同，所以显然该矩阵行列式为零。我把相同的两行放在矩阵的一二行，此时左上角的2阶子式为零，然后进行初等变换成行最简型；再把相同两行分别放在矩阵的一，三行，此时左上角的2阶子式不为零，然后对其进行初等变换成行最简型；两种情况下的行最简型一样。如此看来，“r阶子式不为零”的规定不是显得毫无意义吗？

提问时间：2021-03-29

答案

那是为了理解和论述的方便起见而如此规定.
规定r阶不为0的子式在左上角,则化为行最简式之后,矩阵中所有的1都可以从解向量中x1开始,一直到xr为止一一对应,这样便于写出通解或基础解系.
但是在实际解题过程中,有时会出现如楼主描述的那般,r阶子式不在左上角时更方便进行初等变换的情形,此时只要初等变换还是行变换就一定不会影响对应线性方程组的通解,可以随便选择,但是在写基础解系的时候需要更加小心,一定要明确行最简式中的1指的是解向量中的哪个元素.