题目

把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x²+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（　　）
A. 不存在
B. 有一组
C. 有两组
D. 多于两组

提问时间：2021-03-29

答案

设三个连续的正整数分别为n-1，n，n+1（n为大于1的整数），当一次项系数是n-1或n时，方程的判别式△都小于0；当一次项系数为n+1时，方程的判别式△=（n+1）²-4n（n-1）=-3（n-1）²+4，
要使△≥0，由于n为大于1的整数，所以n只能取2．
当n=2时，则方程为x²+3x+2=0，或2x²+3x+1=0，这两个方程都有整数根，
所以满足要求的a，b，c只有两组：（1，3，2）、（2，3，1）．
故选C．

设三个连续的正整数分别为n-1，n，n+1（n为大于1的整数），然后分别计算△，只有当一次项系数为n+1时，方程的判别式△可能大于等于0，利用△≥0，讨论n的取值．

本题考点：根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．