题目
如图所示,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列四个结论:
①AP=EF; ②△APD一定是等腰三角形; ③∠PFE=∠BAP; ④PD=
EC,
其中正确结论的序号是______.
①AP=EF; ②△APD一定是等腰三角形; ③∠PFE=∠BAP; ④PD=
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其中正确结论的序号是______.
提问时间:2021-03-29
答案
如图,连接PC,在正方形ABCD中,∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,
∵在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,∠BAP=∠BCP,
又∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,∠BCP=∠PFE,
∴AP=EF,∠PFE=∠BAP,故①③正确;
∵PF⊥CD,∠BDC=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PD=
PF,
又∵矩形的对边PF=EC,
∴PD=
EC,故④正确;
只有点P为BD的中点或PD=AD时,△APD是等腰三角形,故②错误;
综上所述,正确的结论有①③④.
故答案为:①③④.
∵在△ABP和△CBP中,
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∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,∠BAP=∠BCP,
又∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,∠BCP=∠PFE,
∴AP=EF,∠PFE=∠BAP,故①③正确;
∵PF⊥CD,∠BDC=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PD=
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又∵矩形的对边PF=EC,
∴PD=
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只有点P为BD的中点或PD=AD时,△APD是等腰三角形,故②错误;
综上所述,正确的结论有①③④.
故答案为:①③④.
连接PC,根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°,然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等,根据全等三角形对应边相等可得AP=PC,对应角相等可得∠BAP=∠BCP,再根据矩形的对角线相等可得EF=PC,对边相等可得PF=EC,再判断出△PDF是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
倍解答即可.
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正方形的性质;矩形的判定与性质.
本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,综合性较强,但难度不大,连接PC构造出全等三角形是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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