题目
设g(x)=px-q/x-2f(x) f(x)=lnx 且g(e)=qe-p/e-2(e为自然对数的底数) 求证 f(x)大于等于x-1(x>0)
求证 ln2/2的平方+ln3/3的平方+……+ln(n)/n的平方<(2n的平方-n-1)/4(n+1)
求证 ln2/2的平方+ln3/3的平方+……+ln(n)/n的平方<(2n的平方-n-1)/4(n+1)
提问时间:2021-03-29
答案
你好!
(1)令h(x) = f(x) - x +1= lnx -x+1
h'(x)= 1/x -1 =0 得 x=1
易知x=1为最大值点
故h(x) = lnx -x+1 ≤ h(1) =0
即 lnx ≤ x -1
(2)由(1)lnx ≤ x -1 (当且仅当x=1取等号)
所以 ln n² < n²-1 ,n≥2
2lnn / n² = (ln n²) / n² < (n²-1)/n² = 1 - 1/n² < 1 - 1/[n(n+1)] = 1 - [ 1/n - 1/(n+1)]
即 lnn / n² < 1/2 - 1/2 [1/n - 1/(n+1)]
∴ln2 / 2² + ln3 / 3² + ……+ lnn / n² < 1/2(n-1) - 1/2[1/2 - 1/(n+1)] = (2n² -n-1) / [4(n+1)]
(1)令h(x) = f(x) - x +1= lnx -x+1
h'(x)= 1/x -1 =0 得 x=1
易知x=1为最大值点
故h(x) = lnx -x+1 ≤ h(1) =0
即 lnx ≤ x -1
(2)由(1)lnx ≤ x -1 (当且仅当x=1取等号)
所以 ln n² < n²-1 ,n≥2
2lnn / n² = (ln n²) / n² < (n²-1)/n² = 1 - 1/n² < 1 - 1/[n(n+1)] = 1 - [ 1/n - 1/(n+1)]
即 lnn / n² < 1/2 - 1/2 [1/n - 1/(n+1)]
∴ln2 / 2² + ln3 / 3² + ……+ lnn / n² < 1/2(n-1) - 1/2[1/2 - 1/(n+1)] = (2n² -n-1) / [4(n+1)]
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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