题目

已知抛物线方程y^2=4x.（2）若动圆M过A（2,0）,且圆心M在该抛物线上运动,E,F是圆M和y轴的交点,试探究|EF|是否可能为定值?若可能,求出成立条件,若无可能,请说明理由

提问时间：2021-03-29

答案

因为圆心M在该抛物线上运动
所以圆心坐标是（y0^2/4,y0)
因为过点（2,0）
所以半径R^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
所以圆方程是
(x-y0^2/4)^2+(y-y0)^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
因为E,F是圆M和y轴的交点
则有
(0-y0^2/4)^2+(y-y0)^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
y0^4/16+y^2-2y0y+y0^2=y0^4/16-y0^2+4+y0^2
y^2-2y0y+y0^2=0
设E点坐标是(0,ye),F点坐标是(0,yf)
则|EF|=√(ye-yf)^2=√[(ye+yf)^2-4yeyf]
=√[(2y0)^2-4*y0^2]
=√[4y0^2-4y0^2]=0
所以是定值.