题目

试证曲面√x+√y+√z=√a（a＞0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a

提问时间：2021-03-29

答案

由曲线切面公式,曲面在(x0,y0,z0)的切面为
(x-x0)/(√x0)+(y-y0)/(√y0)+(z-z0)/(√z0)=0,
将方程整理为截距式,得：
x/（√x0*（√x0+√y0+√z0))+y/(√y0*(√x0+√y0+√z0))+z/(√z0*(√x0+√y0+√z0))=1
∵（x0,y0,z0)在曲面√x+√y+√z=√a上
∴√x0+√y0+√z0=√a
∴切面方程可化为：x/(√ax0)+y/(√ay0)+z/(√az0)=1
∴它的3个截距之和为：√ax0+√ay0+√az0=√a*(√x0+√y0+√z0)=√a*√a=a
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