题目

已知α,β∈（0,π/4）,（tanα/2）/（1-tanα/2的平方）,且3sinβ=sin（2α+β）,求（α＋β）

提问时间：2021-03-29

答案

3sinβ=3sin(α+β-α)=3[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
sin（2α+β）=sin(α+β+α)=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
现在两边相等,整理一下是tan(α+β)=2tanα
（tanα/2）/（1-tanα/2的平方）=[sin(α/2)/cos(α/2)]/[(cosα/2的平方-sinα/2的平方)/cosα/2的平方]
=[sin(α/2)/cos(α/2)]/[cosα/(cosα/2的平方)]=[sin(α/2)*cos(α/2)]/cosα=1/2tanα=1/4
得到tanα=1/2
tan(α+β)=2tanα=1,
α,β∈（0,π/4）所以（α＋β）∈（0,π/2）
所以α＋β=π/4