题目
已知半径为r的⊙O1与半径为R的⊙O2外离,直线DE经过O1切⊙O2于点E并交⊙O1于点A和点D,直线CF经过O2切⊙O1于点F并交⊙O2于点B和点C,连接AB、CD,
(1)[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]
(ⅰ)求四边形ABCD的面积
(ⅱ)求证:A、B、E、F四点在同一个圆上
(2)求证:AB∥DC.
(1)[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]
(ⅰ)求四边形ABCD的面积
(ⅱ)求证:A、B、E、F四点在同一个圆上
(2)求证:AB∥DC.
提问时间:2021-03-29
答案
证明:(1)连接O1F,O2E,AF,BE,
∵DE,CF为切线,
∴∠O1F02=∠O2EO1=90°,∴O1、F、O2、E四点共圆,
∴∠AO1F=∠EO2B,
又∵O1A=O1F,O2E=O2B,
∴根据三角形外角定理,得∠EAF=∠EBF,
所以A、E、B、F四点共圆;
(2)∵A、E、B、F四点共圆,
∴根据同弧所对的圆周角相等,连接EF,则∠ABF=∠AEF,
同(2)法可证F、C、E、D四点共圆,则∠DEF=∠DCF,
而∠AEF和∠DEF为同一角,则∠ABF=∠DCF,
所以AB∥CD.
设DC与O1,O2的另一交点分别为M、N,连接AM、BN,连接O1O2
∵AB∥CD
(ⅰ)设DC与O1,O2的另一交点分别为M、N,连接AM、BN,连接O1O2
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是梯形
又O1、O2是圆心,AD、BC是直径
∴O1O2梯形ABCD的中位线,AM⊥BC,BN⊥BC
∴O1F=r,AD=2r;O2E=R,BC=2R
∴O1O2=
(AB+CD),O1O2∥BC
∴∠O1O2F=∠C
∵CF、DE分别是⊙O1、⊙O2的切线
∴O1F⊥O2F,O2E⊥O1E
∴Rt△BCN∽Rt△O1O2F
∴O1O2:BC=O1F:BN
∴O1O2•BN=BC•O1F=2Rr
∵AB∥BC,BN⊥BC
∴BN是梯形ABCD的高
∴S梯形=
(AB+CD)•AM=O1O2×BN=2Rr
∵DE,CF为切线,
∴∠O1F02=∠O2EO1=90°,∴O1、F、O2、E四点共圆,
∴∠AO1F=∠EO2B,
又∵O1A=O1F,O2E=O2B,
∴根据三角形外角定理,得∠EAF=∠EBF,
所以A、E、B、F四点共圆;
(2)∵A、E、B、F四点共圆,
∴根据同弧所对的圆周角相等,连接EF,则∠ABF=∠AEF,
同(2)法可证F、C、E、D四点共圆,则∠DEF=∠DCF,
而∠AEF和∠DEF为同一角,则∠ABF=∠DCF,
所以AB∥CD.
设DC与O1,O2的另一交点分别为M、N,连接AM、BN,连接O1O2
∵AB∥CD
(ⅰ)设DC与O1,O2的另一交点分别为M、N,连接AM、BN,连接O1O2
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是梯形
又O1、O2是圆心,AD、BC是直径
∴O1O2梯形ABCD的中位线,AM⊥BC,BN⊥BC
∴O1F=r,AD=2r;O2E=R,BC=2R
∴O1O2=
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∴∠O1O2F=∠C
∵CF、DE分别是⊙O1、⊙O2的切线
∴O1F⊥O2F,O2E⊥O1E
∴Rt△BCN∽Rt△O1O2F
∴O1O2:BC=O1F:BN
∴O1O2•BN=BC•O1F=2Rr
∵AB∥BC,BN⊥BC
∴BN是梯形ABCD的高
∴S梯形=
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举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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