题目

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为

3

2

，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

提问时间：2021-03-29

答案

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

3

2

，
∴a²=4b²，即a=2b．
∴椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1．把直线方程代入化简得5x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

1

5

（4-4b²），
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=

1

5

（1-4b²）．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
解得b²=

5

8

，a²=

5

2

．
∴椭圆方程为

2

5

x²+

8

5

y²=1．

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，与直线x+y-1=0联立，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b²与a²．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查待定系数法及综合分析与运算能力，属于中档题．