题目

我大一.我们高数老师说无穷小替换法则不适用于加减法,可是我看到有些题加减法也用替换法则啊?
请问老师的话怎么理解,无穷小替换法则在什么情况下不适用,什么情况下适用?能不能举出例子,谢谢!如满意,有追加.

提问时间：2021-03-29

答案

等价无穷小代换在乘除法中可以用,在加减法中有时能用,有时不能用.对于高等数学这门课,记住加减法不能用就够了,一般不需要在加减法中用等价无穷小代换.我相信你所见到的加减法中的替换大多数并不是等价无穷小的替换,而是极限的四则运算.
如：lim[x→0] (1+cosx)(sinx)/x=lim[x→0] 2(sinx)/x=2,这里用的其实是四则运算法则
lim[x→0] (1+cosx)(sinx)/x=lim[x→0] (1+cosx)lim[x→0] (sinx)/x

等价无穷小代换在加减法中运用,例如下题：
例1：lim[x→0] (sinx+x)/tanx=lim[x→0] (x+x)/x=2,这个是等价无穷小代换在加减法中运用.
但加减法中的运用有时是不行的,如
例2：lim[x→0] (x-sinx)/x³,如将分子的sinx换作x,就错了.

为什么有时能换?有时不能换呢?这个问题需要用泰勒公式才能解释清楚,不知你有没学到泰勒公式.我先不详细讲了,我简单说一个原理,如果你需要更详细的解释,可以追问我.

原理：如果代换完的项在加减运算中被消去了,那么这个代换就不能做,如果没有被消去,就可以做.如例1中,sinx换成x后,x并没有消失,因此这个代换是可以的,例2中,sinx换成x后与前面的x相减刚好消去了,这个代换就不行.

希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.