题目

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

3

c=2asinC．
（1）确定角A的大小；
（2）若a=

7

，且b+c=5，求△ABC的面积．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）由正弦定理：a=2RsinA，c=2RsinC，
又

3

c=2asinC，
∴

3

sinC=2sinAsinC，
∴sinA=

3

2

，
∵锐角三角形中，A为锐角，
∴A=60°；
（2）∵a=

7

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即7=b²+c²-bc①，
∵b+c=5，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=25②，
联立①②，得到bc=6，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×6sin60°=

3 3

2

．

（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入得到关系式，再将b+c=5两边平方得到关系式，联立求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．