题目

试证：对任意的正整数n，有

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

＜提问时间：2021-03-29

答案

证明：∵

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[（

1

n

-

1

n+1

）-（

1

n+1

-

1

n+2

）]，
∴

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[（1-

1

2

）-（

1

2

-

1

3

）]+…+

1

2

[（

1

n

-

1

n+1

）-（

1

n+1

-

1

n+2

）]=
=

1

2

[（1-

1

2

）-（

1

n+1

-

1

n+2

）]＜

1

4

．

利用裂项法，

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[（

1

n

-

1

n+1

）-（

1

n+1

-

1

n+2

）]，再叠加，即可得出结论．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题考查不等式的证明，考查裂项法的运用，属于中档题．