题目

一个关于充要条件的数学问题
关于x的实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,求
1：有两个正根的充要条件
2：有一个正根、一根为0的充要条件
3：有一个大于2的根和一个小于2的根的充要条件
1：b^2-4ac≥0,b/a0
2：△≥0,b/a0,4+2·（b/a）+c/a

提问时间：2021-03-29

答案

1.
设两根为x1,x2
则x1>0,x2>0
所以x1+x2>0,x1x2>0
根据韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
所以-b/a>0,c/a>0
即b/a<0,c/a>0
又因为方程有两个根,所以△≥0
所以b^2-4ac≥0
所以充要条件为b^2-4ac≥0,b/a<0,c/a>0
2.
设两根为x1,x2
则x1>0,x2=0
所以x1+x2>0,x1x2=0
根据韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
所以-b/a>0,c/a=0
即b/a<0,c=0
又因为方程有两个不相等的实数根,
所以△>0,b^2-4ac>0
所以充要条件为b^2-4ac>0,b/a<0,c=0
第二题参考答案有误.
3.
设两根为x1,x2
则x1-2>0,x2-2<0
所以(x1-2)(x2-2)<0
x1x2-2(x1+x2)+4<0
根据韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
所以c/a+2b/a+4<0
又因为方程有两个不等的实数根,所以△>0,b^2-4ac>0
所以充要条件为c/a+2b/a+4<0,b^2-4ac>0