题目

一道高一函数与数列结合的综合题
若奇函数f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）(x≠0,a>1),且当x>0时,f(x)有最小值2√2,又f(1)=3;
(1)求f(x)的表达式
（2）设数列{an|满足a1=2,f(an)=an+2a（n＋1）（n∈N＋）,令bn＝（an－1）／（an＋1）,求数列｛bn｝的通项公式,并加以说明.
注：（2）中的n,n＋1都是下标
我同学做出的答案为（1）f(x)＝（2x²＋1）／x
（2）bn＝（1／3）＾〔2＾（n－1）〕
主要是第二小问

提问时间：2021-03-29

答案

由题意f(an)=(2an+1/an)=an+2a（n＋1）,可得(an+1/an)=2a（n＋1）
b(n+1)=[a(n+1)-1]/[a(n+1)+1],将a（n＋1）=0.5*(an+1/an)代入,
得b(n+1)=(an-1)^2/(an+1)^2=(bn)^2,故bn数列后一项为前一项平方,又b1=1/3,所以bn＝（1／3）＾〔2＾（n－1）〕 ,证毕.