题目

数与代数
（1）求证：存在无穷多个自然数k,使得n^4+k不是质数
（2）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数

提问时间：2021-03-29

答案

（1）设k=4a^4,a是自然数
n^4+4a^4
=n^4+4n²a²+4a^4-4n²a²
=(n²+2a²)²-4n²a²
=(n²-2na+2a²)(n²+2na+2a²)
所以显然n^4+4a^4是合数
a是自然数则有无穷多个
所以k=4a^4有无穷多个
存在无穷多个自然数k,使得n^4+k不是质数
（2）设a=2002,原式化为：
=(a-3)(a-2)(a-1)(a+1)(a+2)(a+3)+36
=(a^2-1)(a^2-4)(a^2-9)+36
=a^6-(1+4+9)a^4+(4+9+36)a^2-36+36
=a^6-14a^4+49a^2
=a^2(a^4-14a^2+49)
=a^2(a-7)^2
=[a(a-7)]^2
所以是完全平方数