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题目
若直线y=3x+1是曲线y=x3-a的一条切线,求实数a的值.

提问时间:2021-03-29

答案
设切点为P(x0,y0),
对y=x3-a求导数是y'=3x2,∴3x02=3.∴x0=±1.
(1)当x=1时,
∵P(x0,y0)在y=3x+1上,
∴y=3×1+1=4,即P(1,4).
又P(1,4)也在y=x3-a上,
∴4=13-a.∴a=-3.
(2)当x=-1时,
∵P(x0,y0)在y=3x+1上,
∴y=3×(-1)+1=-2,即P(-1,-2).
又P(-1,-2)也在y=x3-a上,
∴-2=(-1)3-a.∴a=1.
综上可知,实数a的值为-3或1.
先对曲线进行求导,然后令导函数等于3求出切点坐标,代入到曲线方程可得答案.

导数的几何意义.

本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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